Question

已知抛物线C：y²=4x．
（1）设圆M过点T（2，0），且圆心M在抛物线C上，PQ是圆M在y轴上截得的弦，当点M在抛物线上运动时，弦长|PQ|是否为定值？说明理由；
（2）过点D（-1，0）的直线与抛物线C交于不同的两点A、B，在x轴上是否存在一点E，使△ABE为正三角形？若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设圆心M（

y02

4

，y₀），则圆半径r²=（

y02

4

-2）²+y₀²，利用圆心M到y轴的距离结合直角三角形中的边的关系，即可求得弦长|PQ|为定值；
（2）设直线AB的方程为x=my-1，将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系利用垂直关系即可求得AB中垂线方程，从而得出△ABE为正三角形时的等式，即可解决问题．

解答：解：（1）设圆心M（

y02

4

，y₀），则圆半径r²=（

y02

4

-2）²+y₀²，
圆心M到y轴的距离为d=

y02

4

，
∴弦长|PQ|=2

r2-d2

=2

( y02 4 -2)2+y02-( y02 4 )2

=2

-y02+4+y02

=4 （定值）；
（2）设直线AB的方程为x=my-1，消x得y²-4my+4=0
△=16m²-16=16（m²-1）＞0，∴m²＞1，
∵y₁+y₂=4m，
∴AB的中点为N（2m²-1，2m），
∴AB中垂线方程为y-2m=-m（x-2m²+1），令y=0，∴x=2m²+1，
即E坐标为（2m²+1，0），
∴|EN|=

4+4m2

=2

m2+1

，
又|AB|=

1+m2

•4

m2-1

，当△ABE为正三角形时，
|EN|=

3

2

|AB|，∴2

m2+1

=

3

2

•

1+m2

•4

m2-1

，
∴m²=

4

3

，满足△＞0，∴存在点E（ 

11

3

，0）．

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的关系、圆的方程、抛物线的方程及几何性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．