Question

（本小题满分14分）

已知抛物线上一点到其焦点F的距离为4；椭圆的离心率，且过抛物线的焦点F.

（I）求抛物线和椭圆的标准方程；

（II）过点F的直线交抛物线于A、B两不同点，交轴于点N，已知，求证：为定值.

（III）直线交椭圆于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为，，，若点S满足：，证明：点S在椭圆上.

Answer 1

（I）抛物线的方程为；椭圆的标准方程为（II）见解析；（III）见解析.

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.

试题解析：（Ⅰ）抛物线上一点到其焦点的距离为；

抛物线的准线为

抛物线上点到其焦点的距离等于到准线的距离

所以,所以

抛物线的方程为 2分

椭圆的离心率,且过抛物线的焦点

所以，,解得

所以椭圆的标准方程为 4分

(Ⅱ)直线的斜率必存在,设为,设直线与椭圆交于

则直线的方程为,

联立方程组:

所以

,所以 (*) 5分

由得:

得: 7分

所以

将(*)代入上式,得 9分

(Ⅲ)设

所以,则

由得(1) 11分

,(2) (3)

(1)+(2)+(3)得:

即满足椭圆的方程

命题得证 14分

考点：椭圆的定义及其性质的应用.