Question

【题目】已知函数，其中．

(1)试讨论函数的单调性；

(2)若，且函数有两个零点，求实数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

⑴求出，分别讨论的范围，求出单调性

⑵等价于有两个零点，结合⑴中的结果求导后判定函数的单调性，研究零点问题

(1) ，则

当时，，所以函数在上单调递增；

当时，若 ，则，若 ，则

所以函数在上单调递减，在上单调递增；

综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

(2) 函数有两个零点等价于有两个零点.

由(1)可知，当时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意。所以，又当时，函数在上单调递减，在上单调递增；所从.

要使有两个零点，则有.

设，则，

所以函数在上单调递减.又

所以存在，当时，.

即存在，当时， 即

又因为，所以实数的最小值等于2．

此时，当时，，当时，，有两个零点.故实数的最小值等于2.