Question

【题目】设函数，R．

（Ⅰ）求函数在处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值；

（Ⅲ）设，若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）-1（Ⅲ）或

【解析】

（Ⅰ）求出函数在处的导数后可得切线方程．

（Ⅱ）参变分离后求函数的最小值可得的最大值．

（Ⅲ）因为，故无零根，参变分离后考虑的图像与直线总有两个不同的交点，从而得到实数的取值范围．

（Ⅰ），. 且，所以在处的切线方程为.

（Ⅱ）因为对任意的实数，不等式恒成立.所以恒成立.

设，则

，

所以在，单调递增，在，单调递减.

所以，

因为，是方程的两根.

所以

. （其中）

所以的最大值为.

（Ⅲ）若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，

当，得，与已知矛盾.

所以有两根，即与有两个交点

令，则.

令，，则在单调递减，单调递增，所以.

（ⅰ）当时，即时，则，即在，单调递增，且当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.此时对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.

（ⅱ）当时，有两个非负根，，所以在，，单调递增，单调递减，所以当时有4个交点，或有3个交点，均与题意不合，舍去.

（ⅲ）当时，则有两个异号的零点，，不妨设，则在，单调递增；在，单调递减.

当时，的取值范围为，

当时，的取值范围为，

所以当时，对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.

所以有，，得.

由，得，即.

所以，，.

故

.所以.

所以当或时，原方程对任意实数均有且只有两个解.