Question

【题目】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1:1.

【解析】试题分析：（1）取的中点，由等腰三角形及等边三角形的性质得， ，再根据线面垂直的判定定理得平面，即得AC⊥BD；（2）先由AE⊥EC，结合平面几何知识确定，再根据锥体的体积公式得所求体积之比为1:1.

试题解析：

（1）取AC的中点O，连结DO，BO.

因为AD=CD，所以AC⊥DO.

又由于是正三角形，所以AC⊥BO.

从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.

（2）连结EO.

由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.

在中， .

又AB=BD，所以

，故∠DOB=90°.

由题设知为直角三角形，所以.

又是正三角形，且AB=BD，所以.

故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.