Question

已知在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n．
（1）求证：{a_n+1-a_n}是等比数列．
（2）求{a_n}的通项公式．
（3）求证：

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）利用等比数列的定义，构造

an+2-an+1

an+1-an

=q≠0进行证明．
（2）利用（1）可先求a_n+1-a_n=2ⁿ，利用叠加法可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，从而可求a_n
（3）由

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

证明不等式右边，由

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3•2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

．

1

2k

证明不等式左边．

解答： （1）证明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∵a₁=1，a₂=3，
∴a₂-a₁=2≠0．
∴{a_n+1-a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）得a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1=2ⁿ-1；
（3）证明：∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，k=1，2，…，n．
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

．
∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3•2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

．

1

2k

，k=1，2，…，n．
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

≥

n

2

-

1

3

（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）
=

n

2

-

1

3

（1-

1

2n

）＞

n

2

-

1

3

，
∴

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

．
综上，

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

（n∈N^*）．

点评：本题主要考查数列、不等式等基本知识的综合运用，考查化归的数学思想方法在解题中的运用，训练了放缩法证明数列不等式，考查综合解题能力．题是数列与不等式综合题，属压轴题．