Question

【题目】已知是奇函数（其中，）

（1）求的值；

（2）讨论的单调性；

（3）当的定义域区间为时，的值域为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，在和上为增函数；当时，在和上为减函数；（3）

【解析】

（1）利用奇函数的定义，化简即可求m的值；

（2）求出函数的定义域，通过对数的底数的取值范围讨论f（x）的单调性；

（3）由已知条件，结合（2）中函数的单调性，求a的值即可．

（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即，

得，解得m＝1.

当时，无意义，舍

当时，为奇函数，满足题意.

综上：.

（2）由（1）得，定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

令，则＝在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上的减函数，

当，由复合函数的单调性可得f（x）为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上的减函数；

当时，由复合函数的单调性可得f（x）为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上的增函数.

（3）∵a﹣2＞1，∴a＞3.由（2）知：函数在（1，a﹣2）上是单调递减，

又∵f（x）∈（1，+∞），∴f（a﹣2）＝1，即．解得．