Question

【题目】已知函数在定义域内有两个不同的极值点．

（1）求实数的取值范围；

（2）设两个极值点分别为，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）求出，令，则，分和两种情况讨论

（2）由（1）可知，，所以，要证：，即证，然后构造函数即可.

（1）由题意可知，的定义域为 且

令

则函数在定义域内有两个不同的极值点等价于

在区间内至少有两个不同的零点

由可知，

当时，恒成立，即函数在上单调，不符合题意，舍去.

当时，由得，，即函数在区间上单调递增；

由得，，即函数在区间上单调递减；

故要满足题意，必有 解得：

（2）证明：由（1）可知，，所以

故要证：

即证：

即证：不妨设，即证

构造函数： ，其中

由，所以函数在区间内单调递减，

所以，原式得证.