Question

【题目】如图1，在矩形中，，，点在线段上，.把沿翻折至的位置，平面，连结，点在线段上，，如图2.

（1）证明：平面；

（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）依题意得，可得出，，在线段上取一点，满足，可求出，结合得出，从而可证出四边形为平行四边形，所以，再利用线面平行的判定定理，即可证出平面；

（2）设到平面的距离为，三棱锥的体积最大时，即取到最大值，从而得出当平面平面时，取得最大值，此时，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面和平面的法向量，运用向量法求二面角的公式，即可得出二面角的余弦值.

（1）依题意得，在矩形中，，，，

所以，.

在线段上取一点，满足，

又因为，所以，

故，

又因为，所以，

因为，所以，

所以四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）设到平面的距离为，，又，

所以，故要使三棱锥的体积取到最大值，仅需取到最大值.

取的中点，连结，依题意得，则，

因为平面平面，，平面，

故当平面平面时，平面，.

即当且仅当平面平面时，取得最大值，此时.

如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐

标系，得，，，

，，

设是平面的一个法向量，

则

得令，解得，

又因为平面的一个法向量为，

所以，

因为为钝角，所以其余弦值等于