Question

已知椭圆的左、右两个顶点分别为A，B，直线x=t（-2＜t＜2）与椭圆相交于M，N两点，经过三点A，M，N的圆与经过三点B，M，N的圆分别记为圆C₁与圆C₂．
（1）求证：无论t如何变化，圆C₁与圆C₂的圆心距是定值；
（2）当t变化时，求圆C₁与圆C₂的面积的和S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知A的坐标（-2，0），B的坐标（2，0），M的坐标，N的坐标，线段AM的中点P，由此能够推导出无论t如何变化，为圆C₁与圆C₂的圆心距是定值．
（2）圆C₁的半径为|AC₁|=，圆C₂的半径为，则（-2＜t＜2）
由此能够求出圆C₁与圆C₂的面积的和S的最小值．
解答：解：（1）易得A的坐标（-2，0），B的坐标（2，0），
M的坐标，N的坐标，线段AM的中点P，
直线AM的斜率（3分）
又PC₁⊥AM，∴直线PC₁的斜率
∴直线PC₁的方程，∴C₁的坐标为
同理C₂的坐标为（7分）∴，
即无论t如何变化，为圆C₁与圆C₂的圆心距是定值．（9分）
（2）圆C₁的半径为|AC₁|=，圆C₂的半径为，
则（-2＜t＜2）
显然t=0时，S最小，．（14分）
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．