Question

已知函数（为常数）．
（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）当时，试判断的单调性；
（3）若对任意的，使不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）3；（2）在上是增函数；（3）.

试题分析：（1）先求函数的定义域，，在由可求得；（2）在中由于，判断函数的正负号，从而确定函数在上的单调性；（3）当时，由(2)知，在[1，2]上的最小值为，
故问题等价于：对任意的，不等式恒成立．分离变量恒成立，构造函数
记，（），由导数法求解.
依题意，，
（1）由已知得：，∴，∴．（3分）
（2）当时，，
因为，所以，而，即，
故在上是增函数．（8分）
（3）当时，由(2)知，在[1，2]上的最小值为，
故问题等价于：对任意的，不等式恒成立．即恒成立
记，（），则，
令，则
所以，所以,
故，所以在上单调递减所以
即实数的取值范围为．（13分）