Question

已知函数．

（1）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围；

（2）如果函数的图像与x轴交于两点，且，求证：（其中，是的导函数，正常数满足）．

Answer 1

解：（1）∵，，              -----1分

       ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减。                                                            ----3分

       ∴当x=1时，有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值。

       故的单调递增区间为，单调递减区间为；最大值为-1，但无最小值。

       方程化为，                               -----3分

       由上知，在区间上的最大值为-1，，，。故在区间上有两个不等实根需满足，

       ∴，∴实数m的取值范围为。             -----6分

（2）∵，又有两个实根，

       ∴两式相减，得

       ∴                  -----8分

       于是

       =．

       ∵,∴,∵,∴。           -----9分

       要证：，只需证：．

       只需证：．                     （＊）

       令，∴（＊）化为

       只证即可．                                -----11分

             

              ，，0<t<1，

       ∴t-1<0．

       ∴u'（t）>0,∴u（t）在（0，1）上单调递增，∴u（t）<u（1）=0

       ∴u（t）<0，

       即：．

                                 ．．．．．．．．．．．．．13分