题目内容

(本小题满分13分)已知函数

(1)若的极值点,求实数的值;

(2)若上为增函数,求实数的取值范围;

(3)当时,方程有实根,求实数的最大值.

 

【答案】

(1).(2)的取值范围为.(3)当时,有最大值0.

【解析】(1)根据建立关于a的方程求出a的值.

(2)本小题实质是在区间上恒成立,

进一步转化为在区间上恒成立,

然后再讨论a=0和两种情况研究.

(2) 时,方程可化为,,

问题转化为上有解,

即求函数的值域,然后再利用导数研究g(x)的单调区间极值最值,从而求出值域,问题得解.

解:(1).………1分

    因为的极值点,所以.………………………2分

    即,解得.…………………………………3分

    又当时,,从而的极值点成立.…………4分

(2)因为在区间上为增函数,

    所以在区间上恒成立.…5分

    ①当时,上恒成立,所以上为增函数,故

符合题意.…………………………6分

②当时,由函数的定义域可知,必须有恒成立,故只能

所以上恒成立.……………7分

    令,其对称轴为,……………8分

    因为所以,从而上恒成立,只要即可,

因为,     

解得. u……………………………………9分

因为,所以

综上所述,的取值范围为.…………………………………10分

(3)若时,方程可化为,

    问题转化为上有解,

    即求函数的值域.……………………11分

以下给出两种求函数值域的方法:

方法1:因为,令

    则                    ,…………………………………12分

    所以当,从而上为增函数,

    当,从而上为减函数,………………………13分

    因此

    而,故

    因此当时,取得最大值0.…………………………………………14分

方法2:因为,所以

,则

    当时,,所以上单调递增;

    当时,,所以上单调递减;

    因为,故必有,又

    因此必存在实数使得

    ,所以上单调递减;

      当,所以上单调递增;

      当上单调递减;

    又因为

    当,则,又

    因此当时,取得最大值0.……………………………14分

 

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