题目内容
(本小题满分13分)已知函数.
(1)若为的极值点,求实数的值;
(2)若在上为增函数,求实数的取值范围;
(3)当时,方程有实根,求实数的最大值.
(1).(2)的取值范围为.(3)当时,有最大值0.
【解析】(1)根据建立关于a的方程求出a的值.
(2)本小题实质是在区间上恒成立,
进一步转化为在区间上恒成立,
然后再讨论a=0和两种情况研究.
(2) 时,方程可化为,,
问题转化为在上有解,
即求函数的值域,然后再利用导数研究g(x)的单调区间极值最值,从而求出值域,问题得解.
解:(1).………1分
因为为的极值点,所以.………………………2分
即,解得.…………………………………3分
又当时,,从而的极值点成立.…………4分
(2)因为在区间上为增函数,
所以在区间上恒成立.…5分
①当时,在上恒成立,所以上为增函数,故
符合题意.…………………………6分
②当时,由函数的定义域可知,必须有对恒成立,故只能,
所以上恒成立.……………7分
令,其对称轴为,……………8分
因为所以,从而上恒成立,只要即可,
因为,
解得. u……………………………………9分
因为,所以.
综上所述,的取值范围为.…………………………………10分
(3)若时,方程可化为,.
问题转化为在上有解,
即求函数的值域.……………………11分
以下给出两种求函数值域的方法:
方法1:因为,令,
则 ,…………………………………12分
所以当,从而上为增函数,
当,从而上为减函数,………………………13分
因此.
而,故,
因此当时,取得最大值0.…………………………………………14分
方法2:因为,所以.
设,则.
当时,,所以在上单调递增;
当时,,所以在上单调递减;
因为,故必有,又,
因此必存在实数使得,
,所以上单调递减;
当,所以上单调递增;
当上单调递减;
又因为,
当,则,又.
因此当时,取得最大值0.……………………………14分