Question

函数f(x)=log9(x+8-

a

x

)在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：由函数f(x)=log9(x+8-

a

x

)在[1，+∞）上是增函数可以得到两个信息：
①对任意的1≤x₁＜x₂，总有f（x₁）＜f（x₂）；
②当x≥1时，x+8-

a

x

＞0恒成立．

解答：解：∵函数f(x)=log9(x+8-

a

x

)在[1，+∞）上是增函数，
∴对任意的1≤x₁＜x₂，有f（x₁）＜f（x₂），
即log9(x1+8-

a

x1

)＜log9(x2+8-

a

x2

)，
得x1+8-

a

x1

＜x2+8-

a

x2

，即(x1-x2)(1+

a

x1x2

)＜0，
∵x₁-x₂＜0，∴1+

a

x1x2

＞0，

a

x1x2

＞-1，a＞-x₁x₂，
∵x₂＞x₁≥1，∴要使a＞-x₁x₂恒成立，只要a≥1；
又∵函数f(x)=log9(x+8-

a

x

)在[1，+∞）上是增函数，∴1+8-a＞0，
即a＜9，综上a的取值范围为[-1，9）．

另解：（用导数求解）令g(x)=x+8-

a

x

，
函数f(x)=log9(x+8-

a

x

)在[1，+∞）上是增函数，
∴g(x)=x+8-

a

x

在[1，+∞）上是增函数，g′(x)=1+

a

x2

，
∴1+8-a＞0，且1+

a

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，得-1≤a＜9．

点评：本题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1是对数函数单调递增，当底数大于0小于1时对数函数单调递减．