题目内容
已知向量
=（cosB-cosA），
=（a，b），
•
=
c，其中a、b、c分别是△ABC三内角A、B、C的对边长．
（1）求tanA•cotB的值；
（2）求tan（A-B）的最大值．
| h |
| k |
| h |
| k |
| 3 |
| 5 |
（1）求tanA•cotB的值；
（2）求tan（A-B）的最大值．
分析：（1）利用向量知识，结合正弦定理，化简可得结论；
（2）利用差角的正切公式，结合基本不等式，即可求得结论．
（2）利用差角的正切公式，结合基本不等式，即可求得结论．
解答：解：（1）∵
=（cosB-cosA），
=（a，b），
•
=
c
∴acosB-bcosA=
c
∴由正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=
sinC=
sin（A+B）
∴化简可得sinAcosB=4sinBcosA
∴tanA•cotB=4；
（2）由（1）知tanA=4tanB
∴tan（A-B）=
=
=
≤
（当且仅当tanB=
时取等号）
∴tan（A-B）的最大值为
．
| h |
| k |
| h |
| k |
| 3 |
| 5 |
∴acosB-bcosA=
| 3 |
| 5 |
∴由正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴化简可得sinAcosB=4sinBcosA
∴tanA•cotB=4；
（2）由（1）知tanA=4tanB
∴tan（A-B）=
| tanA-tanB |
| 1+tanAtanB |
| 3tanB |
| 1+4tan2B |
| 3 | ||
4tanB+
|
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴tan（A-B）的最大值为
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角公式的运用，考查基本不等式，属于中档题．
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，
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