Question

如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b，且交抛物线y²=2px（p＞0）于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）两点（异于原点）．
（1）证明：=；
（2）当a=2p时，求证：OM⊥ON．

Answer 1

【答案】分析：（1）写出直线的截距式方程，与抛物线方程联立消去x可得y的二次方程，把等式左侧同分后将韦达定理代入即可证明；
（2）设直线OM、ON的斜率分别为k₁、k₂，则k₁=，k₂=．代入韦达定理可证明k₁k₂=-1，从而证明结论；
解答：证明：（1）直线的截距式方程为与y²=2px联立消去x可得by²+2pay-2pab=0．①
点M、N的纵坐标y₁、y₂为①的两个根，故y₁+y₂=，y₁y₂=-2pa．
所以===．
（2）设直线OM、ON的斜率分别为k₁、k₂，
则k₁=，k₂=．
当a=2p时，由（2）知，y₁y₂=-2pa=-4p²，
由y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，相乘得（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，
x₁x₂===4p²，
因此k₁k₂===-1．
所以OM⊥ON．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要根据实际情况，注意培养计算能力，把握公式的灵活运用，仔细审题，谨慎作答，避免不必要的错误．