Question

已知

c

=m

a

+n

b

=(-2

3

，2)，

a

⊥

c

，

b

与

c

的夹角为120°，且

b

•

c

=-4，|

a

|=2

2

，求实数m、n的值及

a

与

b

的夹角θ．

Answer 1

分析：先在等式

c

=m

a

+n

b

两边同乘以

c

，可求出n的值，然后在等式

c

=m

a

+n

b

两边同乘以

b

，再结合题目条件可求出m的值，最后利用向量的夹角公式求出

a

与

b

的夹角θ即可．

解答：解：∵

a

⊥

c

，∴

a

•

c

=0．
又

c

=m

a

+n

b

∴

c

•

c

=m

a

•

c

+n

b

•

c

∴16=-4n，n=-4
∵

b

•

c

=|

b

|• |

c

| cos120°
∴|

b

| ×4×(-

1

2

)=-4则|

b

| =2
∴

a

•

c

=m

a

2-4

a

•

b

∴

a

•

b

=2m
又

b

•

c

=m

a

•

b

-4

b

2
∴2m²-16=-4即m=±

6

当m=

6

时，

a

•

b

=2

6

，cosθ=

a • b

/ a ∥ b /

=

2 6

2 2×2

=

3

2

∴θ=

π

6

当m=-

6

时，同理可求θ=

5π

6

综上知，m=

6

，n=-4时，θ=

π

6

；m=-

6

，n=-4时，θ=

5π

6

点评：本题主要考查了向量的数量积的应用，以及平面向量数量积的性质及其运算律，属于中档题．