Question

已知

a

=(2，1)，

b

=(-1，3)，

c

=(5，4)
（1）求证：(

a

-2

b

)⊥

c

；
（2）若

c

∥(m

a

+n

b

)，求两实数m，n的比

m

n

．

Answer 1

分析：（1）先根据向量的数乘法则和减法法则求出

a

-2

b

的坐标，然后根据数量积公式计算(

a

-2

b

)

c

的值，最后根据两向量垂直的充要条件进行判断即可；
（2）先求出向量m

a

+n

b

的坐标，然后根据平行向量的坐标关系建立等式，从而求出m与n的关系，得到两实数m，n的比

m

n

．

解答：解：（1）证明：∵

a

=(2，1)，

b

=(-1，3)，
∴

a

-2

b

=（2，1）-（-2，6）=（4，-5）
∴(

a

-2

b

)•

c

=（4，-5）（5，4）=4×5+（-5）×4=0
∴(

a

-2

b

)⊥

c

；
（2）∵

a

=(2，1)，

b

=(-1，3)，
∴m

a

+n

b

=m（2，1）+n（-1，3）=（2m-n，m+3n）
∵

c

∥(m

a

+n

b

)，
∴5×（m+3n）=4（2m-n）即3m=19n
∴

m

n

=

19

3

．

点评：本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及数量积判断两个平面向量的垂直关系和共线向量的坐标关系，属于中档题．