Question

已知函数f（x）=x³+ax²-x+c，且a=f′(

2

3

)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设函数g（x）=（f（x）-x³）•e^x，若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²-x+c，得f'（x）=3x²+2ax-1．
当x=

2

3

时，得a=f ′(

2

3

)=3×(

2

3

)2+2f ′(

2

3

)×(

2

3

)-1，
解之，得a=-1．…（4分）
（Ⅱ）因为f（x）=x³-x²-x+c．
从而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

1

3

)(x-1)，
由f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

1

3

)(x-1)=0，得x1=-

1

3

 ，x2=1，
列表如下：

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有极大值	↘	有极小值	↗

所以f（x）的单调递增区间是(-∞ ， -

1

3

)和（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是(-

1

3

 ， 1)．…（9分）
（Ⅲ）函数g（x）=（f（x）-x³）•e^x=（-x²-x+c）•e^x，
有g'（x）=（-2x-1）e^x+（-x²-x+c）e^x=（-x²-3x+c-1）e^x，
因为函数在区间x∈[-3，2]上单调递增，
等价于h（x）=-x²-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得c≥11，
所以c的取值范围是c≥11．…（14分）