Question

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的各棱长都相等，D、E分别是CC₁和AB₁的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3 

(1)若M为AB中点，求证  BB₁∥平面EFM；

(2)求证  EF⊥BC；

 (3)求二面角A₁—B₁D—C₁的大小   

Answer 1

(1)证明 连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB₁的中点，

∴BB₁∥ME，又BB₁平面EFM，∴BB₁∥平面EFM 

(2)证明  取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得  AN⊥BC，

又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，

∴MF⊥BC，而BC⊥BB₁，BB₁∥ME 

∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，

又EF平面EFM，∴BC⊥EF 

(3)解  取B₁C₁的中点O，连结A₁O知，A₁O⊥面BCC₁B₁，由点O作B₁D的垂线OQ，垂足为Q，连结A₁Q，由三垂线定理，A₁Q⊥B₁D，故∠A₁QD为二面角A₁—B₁D—C的平面角，易得∠A₁QO=arctan 

解析:

见详解