Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是单位向量，若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，且|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，则|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$|的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{3}{5}$，5]
• B． [$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$]
• C． [$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$]
• D． [$\sqrt{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{5}$]

Answer 1

分析 向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是单位向量，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，取$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1）．设$\overrightarrow{c}$=（x，y）=$\overrightarrow{OP}$，根据|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，可得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，设A（1，0），B（0，2）．则|AB|=$\sqrt{5}$，可得点P在线段AB上．可得y=2-2x（0≤x≤1）．代入|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5{x}^{2}-2x+2}$=$\sqrt{5（x-\frac{1}{5}）^{2}+\frac{9}{5}}$=f（x），利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是单位向量，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，
取$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1）．
设$\overrightarrow{c}$=（x，y）=$\overrightarrow{OP}$，
∵|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
设A（1，0），B（0，2）．
则|AB|=$\sqrt{5}$，
因此点P在线段AB上．
∴$\frac{x}{1}+\frac{y}{2}$=1，
可得y=2-2x（0≤x≤1）．
则|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y-1）^{2}}$=$\sqrt{（x+1）^{2}+（1-2x）^{2}}$=$\sqrt{5{x}^{2}-2x+2}$=$\sqrt{5（x-\frac{1}{5}）^{2}+\frac{9}{5}}$=f（x），
$f（\frac{1}{5}）$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$为最小值，
由f（0）=$\sqrt{2}$，f（1）=$\sqrt{5}$，可得最大值为$\sqrt{5}$．
∴f（x）∈$[\frac{3\sqrt{5}}{5}，\sqrt{5}]$．
故选：C．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、二次函数的单调性、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．