Question

如图，已知椭圆（a> b>0）和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A、B。

（1）①若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
②若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e 的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求证：为定值。

Answer 1

解：（1）①∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x²+y²=b²，
∴b=c，
∴b²=a²-c²=c²，
∴a²=2c²，
∴；
②由∠APB=90°及圆的性质，知四边形OBPA为正方形，可得

∴|OP|²=2b²≤a²，
∴a²≤2c²
∴，。
（2）设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则切线PA方程为：x₁x+y₁y=b²，PB方程为：x₂x+y₂y=b²
∴x₁x+y₁y=x₂x+y₂y，
∴
直线AB方程为：
即x₀x+y₀y=b²
令x=0，得
令y=0得
∴
∴为定值，定值是。