Question

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（2）设T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n），求T_n及数列{a_n}的通项；
（3）记bn=

1

an

+

1

an+2

，求数列{b_n}的前n项S_n，并证明Sn+

2

3Tn-1

=1．

Answer 1

分析：（1）把点（a_n，a_n+1）代入函数式，整理得a_n+1+1=（a_n+1）²，两边取对数整理得

lg(1+an+1)

lg(1+an)

=2，进而判断{lg（1+a_n）}是公比为2的等比数列．
（2）根据等比数列的通项公式求的数列{lg（1+a_n）}的通项公式，进而求的a_n代入到T_n=（1+a₁）（1+a₂）（1+a_n）求的T_n．
（3）把（2）求的a_n代入到bn=

1

an

+

1

an+2

，用裂项法求和求得项Sn=1-

2

32n-1

，又Tn=32n-1，原式得证．

解答：解：（Ⅰ）由已知a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a_n+1+1=（a_n+1）²
∵a₁=2
∴a_n+1＞1，两边取对数得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），
即

lg(1+an+1)

lg(1+an)

=2
∴{lg（1+a_n）}是公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg（1+a_n）=2^n-1•lg（1+a₁）=2n-1•lg3=lg32n-1
∴1+an=32n-1
∴an=32n-1-1
∴T_n=（1+a₁）（1+a₂）（1+a_n）=320•321•322•…•32n-1=3¹⁺²⁺²²+…+2^n-1=32n-1
（Ⅲ）∵a_n+1=a_n²+2a_n
∴a_n+1=a_n（a_n+2）
∴

1

an+1

=

1

2

(

1

an

-

1

an+2

)
∴

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

又bn=

1

an

+

1

an+2

∴bn=2(

1

an

-

1

an+1

)
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=2(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

)=2(

1

a1

-

1

an+1

)
∵an=32n-1-1，a1=2，an+1=32n-1
∴Sn=1-

2

32n-1

又Tn=32n-1
∴Sn+

2

3Tn-1

=1．

点评：本题主要考查了等比关系的确定和数列的求和问题．考查了学生对数列知识的综合掌握．