题目内容

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为60°，则对角线AC₁的长是________．

$\text{[math]}$
分析：设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则两两夹角为60°，且模均为1．根据向量加法的平行四边形法则，我们易得 $\text{[math]}$ ．我们易根据向量数量积的运算法则，求出AC₁的模，即AC₁的长；
解答：设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则两两夹角为60°，且模均为1．
$\text{[math]}$
∴| $\text{[math]}$ |²=（ $\text{[math]}$ ）²
=3+6×1×1×12=6，
∴|AC₁|=6，即AC₁的长为 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查的知识点是空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．

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如图，已知平行六面体ABC-A₁B₁C₁的底面为正方形，O₁，O分别为上、下底面中心，且A₁在底面ABCD上的射影为O．
（1）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若点E、F分别在棱AA₁、BC上，且AE=2EA₁，问F在何处时，EF⊥AD？

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（I）若G为△ABC的重心，

=c，用向量a、b、c表示向量

；
（II）若平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长相等且AB⊥平面BCC₁B₁，E为CD中点，AC₁∩BD₁=O，求证；OE⊥平面ABC₁D₁．

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如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（I）若G为△ABC的重心， $数学公式$ ，设 $数学公式$ ，用向量a、b、c表示向量 $数学公式$ ；
（II）若平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长相等且AB⊥平面BCC₁B₁，E为CD中点，AC₁∩BD₁=O，求证；OE⊥平面ABC₁D₁．

如图，已知平行六面体ABC-A₁B₁C₁的底面为正方形，O₁，O分别为上、下底面中心，且A₁在底面ABCD上的射影为O．
（1）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若点E、F分别在棱AA₁、BC上，且AE=2EA₁，问F在何处时，EF⊥AD？