题目内容

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（I）若G为△ABC的重心， $数学公式$ ，设 $数学公式$ ，用向量a、b、c表示向量 $数学公式$ ；
（II）若平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长相等且AB⊥平面BCC₁B₁，E为CD中点，AC₁∩BD₁=O，求证；OE⊥平面ABC₁D₁．

解：（I）依题意， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵G为△ABC的重心，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ]
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
（II）证明：连接C₁E，AE，
∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长相等且AB⊥平面BCC₁B₁
∴C₁E=AE，
∴△C₁EA为等腰三角形
∵O为AC₁的中点，
∴OE⊥AC₁
同理可证 OE⊥BD₁
∵AC₁∩BD₁=O，
∴OE⊥平面ABC₁D₁．
分析：（I）利用向量加法的三角形法则及重心的性质，将 $\text{[math]}$ 用基底表示，再在三角形A₁AG中，将 $\text{[math]}$ 用基底表示；
（II）连接C₁E，AE，由已知证明△C₁EA为等腰三角形，从而OE⊥AC₁，同理可证明OE⊥BD₁，最后由线面垂直的判定定理证明结论
点评：本题考查了空间向量的基本定理及其应用，向量加法的三角形法则，重心的性质及线面垂直的判定定理

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（1）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若点E、F分别在棱AA₁、BC上，且AE=2EA₁，问F在何处时，EF⊥AD？

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（1）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
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如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，O₁，O分别为上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD上的射影是O．
（1）求证：面O₁DC⊥面ABCD；
（2）若∠A₁AB=60°，求二面角C-AA₁-B大小；
（3）若点E，F分别在棱AA₁，BC上，且AE=2EA₁，问点F在何处时，EF⊥AD．