题目内容
如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1．（I）若G为△ABC的重心，
| A1M |
| MG |
| AB |
| AD |
| AA1 |
| A1M |
（II）若平行六面体ABCD-A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，E为CD中点，AC1∩BD1=O，求证；OE⊥平面ABC1D1．
分析：（I）利用向量加法的三角形法则及重心的性质，将
用基底表示，再在三角形A1AG中，将
用基底表示；
（II）连接C1E，AE，由已知证明△C1EA为等腰三角形，从而OE⊥AC1，同理可证明OE⊥BD1，最后由线面垂直的判定定理证明结论
| AG |
| A1M |
（II）连接C1E，AE，由已知证明△C1EA为等腰三角形，从而OE⊥AC1，同理可证明OE⊥BD1，最后由线面垂直的判定定理证明结论
解答：解：（I）依题意，
=
=
(
+
)
∵G为△ABC的重心，
∴
=
×
(
+
)=
(
+
)
又∵
=
+
∴
=
[
+
(
+
+
)]
=
+
+
=
+
-
（II）证明：连接C1E，AE，
∵平行六面体ABCD-A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1
∴C1E=AE，
∴△C1EA为等腰三角形
∵O为AC1的中点，
∴OE⊥AC1
同理可证 OE⊥BD1
∵AC1∩BD1=O，
∴OE⊥平面ABC1D1．
| A1M |
| 3 |
| 4 |
| A1G |
| 3 |
| 4 |
| A1A |
| AG |
∵G为△ABC的重心，
∴
| AG |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
又∵
| AC |
| AB |
| AD |
∴
| A1M |
| 3 |
| 4 |
| A1A |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AB |
| AD |
=
| 3 |
| 4 |
| A1A |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| 1 |
| 4 |
| AD |
=
| 1 |
| 2 |
| a |
| 1 |
| 4 |
| b |
| 3 |
| 4 |
| c |
（II）证明：连接C1E，AE，
∵平行六面体ABCD-A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1
∴C1E=AE，
∴△C1EA为等腰三角形
∵O为AC1的中点，
∴OE⊥AC1
同理可证 OE⊥BD1
∵AC1∩BD1=O，
∴OE⊥平面ABC1D1．
点评：本题考查了空间向量的基本定理及其应用，向量加法的三角形法则，重心的性质及线面垂直的判定定理
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