题目内容

本题满分16分）两个数列{a_n}，{b_n}，满足 $数学公式$ ．★（参考公式 $数学公式$ ）
求证：{b_n}为等差数列的充要条件是{a_n}为等差数列．

证明：∵ $\text{[math]}$ ，∴b_n+1= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ b_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n ①，
$\text{[math]}$ b_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n+（n+1）a_n+1．②
②减去①可得 $\text{[math]}$ b_n+1- $\text{[math]}$ b_n=（n+1）a_n+1．
两边同时除以n+1可得 $\text{[math]}$ b_n+1- $\text{[math]}$ b_n=a_n+1③，
∴ $\text{[math]}$ b_n- $\text{[math]}$ b_n-1=a_n ④．
③减去④可得 a_n+1-a_n=（ $\text{[math]}$ b_n+1- $\text{[math]}$ b_n ）-（ $\text{[math]}$ b_n- $\text{[math]}$ b_n-1 ）
= $\text{[math]}$ b_n+1+b_n+1- $\text{[math]}$ b_n- $\text{[math]}$ b_n- $\text{[math]}$ b_n+ $\text{[math]}$ b_n-1- $\text{[math]}$ b_n-1
= $\text{[math]}$ （b_n+1-b_n ）+ $\text{[math]}$ （b_n+1-b_n ）+ $\text{[math]}$ （b_n-b_n-1）- $\text{[math]}$ （b_n-b_n-1）
= $\text{[math]}$ （b_n+1-b_n ）+ $\text{[math]}$ （b_n+1-b_n ）- $\text{[math]}$ （b_n-b_n-1）．
由于{b_n}为等差数列的充要条件是 b_n+1-b_n=b_n-b_n-1=常数d，
此时a_n+1-a_n= $\text{[math]}$ d+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，是个常数．
故：{b_n}为等差数列的充要条件是{a_n}为等差数列．
分析：由条件可得 $\text{[math]}$ b_n+1- $\text{[math]}$ b_n=a_n+1， $\text{[math]}$ b_n- $\text{[math]}$ b_n-1=a_n，相减可得 a_n+1-a_n═ $\text{[math]}$ （b_n+1-b_n ）+ $\text{[math]}$ （b_n+1-b_n ）- $\text{[math]}$ （b_n-b_n-1），由于{b_n}为等差数列的充要条件是 b_n+1-b_n=b_n-b_n-1=常数d，此时a_n+1-a_n= $\text{[math]}$ d+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，是个常数，从而结论成立．
点评：本题主要考查用分析法和综合法证明数学命题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．