题目内容
本题满分16分）两个数列{an}，{bn}，满足
．★（参考公式
）求证：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．
【答案】分析：由条件可得 
bn+1-
bn=an+1 ，
bn-
bn-1=an，相减可得 an+1 -an═
（bn+1-bn ）+
（bn+1-bn ）-
（bn-bn-1），由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常数d，此时an+1 -an=
d+
-
=
，是个常数，从而结论成立．
解答：证明：∵
，∴bn+1=
，
∴
bn=a1+2a2+3a3+…+nan ①，
bn+1=a1+2a2+3a3+…+nan+（n+1）an+1．②
②减去①可得
bn+1-
bn=（n+1）an+1．
两边同时除以n+1可得
bn+1-
bn=an+1 ③，
∴
bn-
bn-1=an ④．
③减去④可得 an+1 -an=（
bn+1 -
bn ）-（
bn -
bn-1 ）
=
bn+1 +bn+1 -
bn-
bn-
bn+
bn-1-
bn-1
=
（bn+1-bn ）+
（bn+1-bn ）+
（bn-bn-1）-
（bn-bn-1）
=
（bn+1-bn ）+
（bn+1-bn ）-
（bn-bn-1）．
由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常数d，
此时an+1 -an=
d+
-
=
，是个常数．
故：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．
点评：本题主要考查用分析法和综合法证明数学命题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
bn+1-bn=an+1 ，bn-bn-1=an，相减可得 an+1 -an═（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）-（bn-bn-1），由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常数d，此时an+1 -an=d+-=，是个常数，从而结论成立．解答：证明：∵
，∴bn+1=，∴
bn=a1+2a2+3a3+…+nan ①，bn+1=a1+2a2+3a3+…+nan+（n+1）an+1．②②减去①可得
bn+1-bn=（n+1）an+1．两边同时除以n+1可得
bn+1-bn=an+1 ③，∴
bn-bn-1=an ④．③减去④可得 an+1 -an=（
bn+1 - bn ）-（ bn -bn-1 ）=
bn+1 +bn+1 -bn-bn-bn+ bn-1-bn-1 =
（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）+ （bn-bn-1）-（bn-bn-1）=
（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）-（bn-bn-1）．由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常数d，
此时an+1 -an=
d+-=，是个常数．故：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．
点评：本题主要考查用分析法和综合法证明数学命题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
为实数，且
的解；
，
满足
，试写出
.
．★（参考公式
）