Question

已知a＞b＞c，求证：a²b＋b²c＋c²a＞ab²＋bc²＋ca²．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2 　　＝(b－c)a2＋(c2－b2)a＋bc(b－c) 　　＝(b－c)[a2－(b＋c)a＋bc] 　　＝(a－b)(b－c)(a－c)＞0(∵a＞b＞c)， 　　∴a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2． 　　证法二：令f(a)＝(b－c)a2＋(c2－b2)a＋bc(b－a) 　　＝(b－c)[a2－(c＋b)a＋bc]． 　　方程f(a)＝0的两根为b，c，又b－c＞0，且a＞b＞c． 　　结合图象，知f(a)＞0． 　　所以原不等式成立． 　　思路分析：本题可以用作差法进行推理证明，但也可以打破思维定式，从二次函数及方程这个角度来证明．