Question

中心在原点，一焦点为F₁（0，5

2

）的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点横坐标是

1

2

，求此椭圆的方程．

Answer 1

分析：先根据焦点坐标得出a²-b²=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．

解答：解：设椭圆：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），则a²-b²=50①
又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中点（x₀，y₀）
∵x₀=

1

2

，∴y₀=

3

2

-2=-

1

2

由

y 2 1 a2 + x 2 1 b2 =1 y 2 2 a2 + x 2 2 b2 =1

?

y 2 1 - y 2 2

a2

=-

x 2 1 - x 2 2

b2

?kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

a2

b2

•

x0

y0

=3?a2=3b2②
解①，②得：a²⁼75，b²=25，
故椭圆的方程为：

y2

75

+

x2

25

=1．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．