Question

已知A是抛物线y=

1

4

x2上的动点，B、C两点分别在x轴的正、负半轴上，圆M：x²+（y-2）²=4内切于△ABC，切点分别为T₁，T₂和原点O，设BC=m，AT₁=n．
（Ⅰ）证明：

1

m

+

1

n

为定值．
（Ⅱ）已知点A在第一象限，且当△ABC周长最小时，试求△ABC的外接圆方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A（x，y），则n=

x2+(y-2)2-22

=y，所以2=r=

S△ABC

m+n

=

1 2 ym

m+n

=

1 2 nm

m+n

，由此能证明

1

m

+

1

n

为定值．
（Ⅱ）周长l=2（m+n）．由

1

4

=

1

m

+

1

n

≥

2

mn

≥

4

m+n

，知m+n≥16，l≥32，取最小值时，m=n=8，点A(4

2

，8)．
设点B的横坐标为x₀，则直线AB的方程为l：x=

4 2 -x0

8

y+x0，点M到l的距离2=

|2(x0-4 2 )-8x0|

64+(x0-4 2 )2

，由此及彼能得到所求的方程．

解答：（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）设A（x，y），则n=

x2+(y-2)2-22

=y，
∴2=r=

S△ABC

m+n

=

1 2 ym

m+n

=

1 2 nm

m+n

，∴

1

m

+

1

n

=

1

4

．
（Ⅱ）周长l=2（m+n）．
∵

1

4

=

1

m

+

1

n

≥

2

mn

≥

4

m+n

，∴m+n≥16，∴l≥32，
取最小值时，m=n=8，点A的坐标为(4

2

，8)．
设点B的横坐标为x₀，则直线AB的方程为l：x=

4 2 -x0

8

y+x0，
即8x+(x0-4

2

)y-8x0=0．
点M到l的距离2=

|2(x0-4 2 )-8x0|

64+(x0-4 2 )2

，整理得

x

2 0

+4

2

x0-8=0．
故可设所求圆方程为：x2+y2+4

2

x+Ey-8=0，将点(4

2

，8)代入得E=-15，
∴所求的方程为：x2+y2+4

2

x-15y-8=0．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．