Question

12．已知f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x+1．
（1）求函数f（x）取最大值时x的取值集合；
（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，c=$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式及辅助角公式求得f（x），利用正弦函数的性质，即可求得f（x）的最大值；
（2）由（1），求得C，利用余弦定理及基本不等式的性质，即可求得△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）由题意，$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx-2{cos^2}x+1$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
当f（x）取最大值时，即$sin（2x-\frac{π}{6}）=1$，此时$2x-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
所以x的取值集合为$\{x|x=kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$．
（2）因f（C）=2，由（1）得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，又0＜C＜π，
即$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，所以$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，解得$C=\frac{π}{3}$，
在△ABC中，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
得3=a²+b²-ab≥ab，所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
当且仅当a=b，$C=\frac{π}{3}$，即△ABC为等边三角形时不等式取等号．
故△ABC面积的最大值为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，三角函数的性质，余弦定理及基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．