Question

（本小题满分12分）自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用表示某鱼群在第年初的总量，，且。不考虑其他因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正数其中称为捕捞强度。
（1）求与的关系式；
（2）设，为了保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论。

Answer 1

解：（1）从第年初到从第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，依题意

即 
（2）若的值使得，由，知特别地有，即而，所以，以下去证当时，恒有，由此确定的允许最大值是1。
①当时，结论显然成立。
②假设当时结论成立，即。
则当时，
因为，所以。
故当时结论也成立。
由①②可知对于任意恒有
综上，为了保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是1

略