Question

已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求证：(

1

a

-1)(

1

b

-1)(

1

c

-1)≥

1

π

∫

4 -4

16-x2

dx．

Answer 1

分析：将不等式的左边变形，利用基本不等式，右边求出定积分的值，即可得证．

解答：证明：∵a+b+c=1，∴(

1

a

-1)(

1

b

-1)(

1

c

-1)=

b+c

a

×

a+c

b

×

a+b

c

∵a，b，c∈R⁺，∴

b+c

a

×

a+c

b

×

a+b

c

≥

2 bc

a

×

2 ac

b

×

2 ab

c

=8
∵

1

π

∫

4 -4

16-x2

dx=

1

π

×

1

2

π×42=8
∴(

1

a

-1)(

1

b

-1)(

1

c

-1)≥

1

π

∫

4 -4

16-x2

dx

点评：本题考查不等式的证明．考查基本不等式的运用，考查定积分计算，属于中档题．