Question

已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点P是DD₁的中点，且截面EAC与底面ABCD成45°角，AA₁＝2a，AB＝a，

(1)设Q是BB₁上一点，且BQa，求证：DQ⊥面EAC；

(2)判断BP与面EAC是否平行，并说明理由？

(3)若点M在侧面BB₁C₁C及其边界上运动，并且总保持AM⊥BP，试确定动点M所在的位置．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)证：首先易证ACDQ，再证EODQ(O为AC与BD的交点)在矩形BDD1B1中，可证EDO与BDQ都是直角三角形，由此易证EODQ，故DQ面EAC得证； 　　(2)若BP与面EAC平行，则可得BP∥EO，在三角形BPD中，O是BD中点，则E也应是PD中点，但PD＝DD1＝a，而ED＝DO＝BD＝a，故E不是PD中点，因此BP与面EAC不平行； 　　(3)易知，BPAC，要使AMBP，则M一定在与BP垂直的平面上，取BB1中点N，易证BP面NAC，故M应在线段NC上．