题目内容

已知y=lo $数学公式$ [a^2x+2（ab）^x-b^2x+1]（a、b∈R⁺），如何求使y为负值的x的取值范围？

解：要使y＜0，必须a^2x+2（ab）^x-b^2x+1＞1，即a^2x+2（ab）^x-b^2x＞0
∵b^2x＞0
∴（ $\text{[math]}$ ）^2x+2（ $\text{[math]}$ ）^x-1＞0
∴（ $\text{[math]}$ ）^x＞ $\text{[math]}$ -1或（ $\text{[math]}$ ）^x＜- $\text{[math]}$ -1（舍去）
∵a、b∈R⁺，∴ $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ ＞1时，即a＞b＞0时，x＞lo $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -1）．
当 $\text{[math]}$ =1时，即a=b＞0时，x∈R．
当 $\text{[math]}$ ＜1时，即0＜a＜b时，x＜lo $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -1）
故当a＞b＞0时，x＞lo $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -1）；当a=b＞0时，x∈R；当0＜a＜b时，x＜lo $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -1）．
分析：要使y＜0，必须a^2x+2（ab）^x-b^2x+1＞1，即a^2x+2（ab）^x-b^2x＞0．推导出（ $\text{[math]}$ ）^x＞ $\text{[math]}$ -1或（ $\text{[math]}$ ）^x＜- $\text{[math]}$ -1（舍去）后，再分 $\text{[math]}$ ＞1， $\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$ ＜1三种情况进行讨论，从而求出使y为负值的x的取值范围．
点评：本题是求对数函数取负值时x的取值范围，解题要根据对数函数的性质进行合理转化，然后再分情况进行讨论．