Question

命题P：方程

x2

k-2

+

y2

k-1

=1表示双曲线，命题q：不等式x²-2x+k²-1＞0对一切实数x恒成立．
（1）求命题P中双曲线的焦点坐标；
（2）若命题“p且q”为真命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接利用双曲线方程为

x2

k-2

+

y2

k-1

=1，可得a²=k-1，b²=k-2以及焦点在y轴上；再利用a，b，c之间的关系求出c即可求出结论．
（2）命题p为真命题，得方程

x2

k-2

+

y2

k-1

=1表示双曲线，说明x²的分母与y²的分母的积为负数．联列不等式组，解之即得实数k的取值范围；再利用根的判别式找出命题q真时，实数k的取值范围，再由p∧q为真命题，说明“p真q真”成立，可得实数k的取值范围．

解答：解：（1）因为k-1＞k-2，所以a²=k-1，b²=k-2…（2分）
所以c²=1，且焦点在y轴上，…（4分）
所以双曲线的焦点坐标为（0，±1）．…（6分）
（2）命题p：（k-2）（k-1）＜0，1＜k＜2；         …（8分）
命题q：△=4-4（k²-1）＜0，k＜-

2

或k＞

2

．…（10分）
因为命题“p且q”为真命题，所以

1＜k＜2 k＜- 2 或k＞ 2

即

2

＜k＜2．…（14分）
（注：若第（1）问分类讨论答案对也算对）

点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了双曲线的标准方程和一元二次不等式的解集等知识点，属于基础题．