Question

在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点（2，1）到两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，且=3．求过O、A、B三点的圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的定义得2a=4，从而求出a的值，然后将点（2，1）代入椭圆的标准方程，求出b，从而求出椭圆的方程；
（2）分别设出A、B的坐标，利用=3得到A、B坐标之间的关系，然后将A、B的坐标代入椭圆的方程，通过解方程即可求得A、B的坐标，最后设出所求圆的方程，将O、A、B的坐标代入，解方程即可．
解答：解：（1）由题意，设椭圆C：（a＞b＞0），则2a=4，a=2．
∵点（2，1）在椭圆上，
∴，解得b=，
∴所求椭圆的方程为．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＜0，y₂＞0），点F的坐标为F（3，0），
由=3，得3-x₁=3（x₂-3），-y₁=3y₂，即x₁=-3x₂+12，y₁=-3y₂①．
又A、B在椭圆C上，
∴=1，，
解得x₂=，y₂=，
∴B（），代入①得A（2，-）．
设过O、A、B三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则将O、A、B三点的坐标代入得
F=0，6+2D-E+F=0，+D，
解得D=，E=，F=0，
故过O、A、B三点的圆的方程为x²+y²-x-y=0．
点评：本题考查椭圆的性质及其应用、向量及圆的方程的综合应用，解题时要认真审题，注意运用方程思想、转化思想、待定系数、数形结合等数学思想方法，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧，难度中等．