Question

已知圆M：2x²+2y²－8x－8y－1＝0和直线l：x+y－9＝0 . 过直线l 上一点A作△ABC，使

∠BAC=45°，AB过圆心M，且B，C在圆M上.

⑴当A的横坐标为4时，求直线AC的方程；

⑵求点A的横坐标的取值范围.

Answer 1

【解】：⑴依题意M（2，2），A（4，5），，设直线AC的斜率为，则,解得 或，故所求直线AC的方程为5x+y－25＝0或x－5y+21＝0；

⑵圆的方程可化为(x－2)²+(y－2)²＝，设A点的横坐标为a。则纵坐标为9－a；

当a≠2时，，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，

则可得，直线AC的方程为y－(9－a)＝(x－a)

即5x－(2a－9)y－2a²+22a－81＝0，

又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即，化简得a²－9a+18≤0，解得3≤a≤6；

②当a＝2时，则A（2，7）与直线 x=2成45°角的直线为y－7＝x－2即x－y+5＝0，

M到它的距离，这样点C不在圆M上，还有x+y－9＝0，显然也不满足条件，故A点的横坐标范围为［3，6］。