题目内容

已知圆M：（x+
5
）2+y2=36，定点N（
5
，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0．
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）点F（x，y）在轨迹C上，求2x2+y的最大值与最小值．
分析：（I）由
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，∴GQ为PN的中垂线，∴|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，从而可求方程；（Ⅱ）易知-2≤y≤2，从而转化为二次函数求最值．
解答：解：（Ⅰ）由
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，∴GQ为PN的中垂线，∴|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=
5
，∴短半轴长b=2，
∴点G的轨迹方程是
x2
9
+
y2
4
=1
（Ⅱ）易知-2≤y≤2，当y=
1
9
时，2x2+y有最大值18
1
18
，当y=-2时，2x2+y有最小值为-2
点评：本题主要考查椭圆的定义，解题的关键是将问题等价转化为符合椭圆的定义，（Ⅱ）的关键是从转化为二次函数求最值．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圆C2：（x-4）2+（y-5）2=9．
（1）判断两圆的位置关系；
（2）求直线m的方程，使直线m被圆C1截得的弦长为4，与圆C2截得的弦长是6．
（理）已知圆M：（x+
5
）2+y2=36，定点N（
5
，0），点P为圆M上的动点，点G在MP上，且满足|GP|=|GN|
（1）求点G的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设
OS
=
OA
+
OB
，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．
已知圆M：（x-1）2+（y-1）2=4，直线l：x+y-6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C使得：∠BAC=60°，则点A的横坐标x0的取值范围是
[1，5]
[1，5]
．
已知圆M：（x+
5
）2+y2=36，定点N（
5
，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0．
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）点F（x，y）在轨迹C上，求2x2+y的最大值与最小值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网