Question

三角形ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac，且a：c=(

3

+1)：2，求角B、角C的大小．

Answer 1

分析：根据余弦定理表示出cosB，把已知的等式代入求出cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；由角B的度数，利用三角形的内角和定理得到A+C的度数，表示出角A，根据正弦定理化简已知的a：c，把表示出的sinA代入，利用两角差的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，得到tanC的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数．

解答：解：由a²+c²-b²=ac及余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

又B∈（0，π），
∴B=

π

3

；
∴A=

2π

3

-C，
由正弦定理得：

a

c

=

sinA

sinC

=

sin( 2π 3 -C)

sinC

=

3 +1

2

，
∴(

3

+1)sinC=2sin(

2π

3

-C)=2(

3

2

cosC+

1

2

sinC)=

3

cosC+sinC
∴tanC=1，又C∈(0，

2π

3

)，
∴C=

π

4

点评：本题要求学生熟练掌握正弦、余弦定理应用的特点，培养学生分析问题，解决问题的能力．学生在求角度时特别注意角的范围．