Question

18．${∫}_{-2}^{-1}$（$\sqrt{-{x}^{2}-2x}$+x²）dx=$\frac{π}{4}$+$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 先将y=$\sqrt{-x^2-2x}$化为圆的标准方程，再结合几何意义求定积分．

解答 解：记f（x）=$\sqrt{-x^2-2x}$，g（x）=x²，x∈[-2，-1]，
∵y=f（x）=$\sqrt{-x^2-2x}$=$\sqrt{1-（x+1）^2}$，平方得，（x+1）²+y²=1（y≥0），
∴f（x）的图象为以（-1，0）为圆心，以1为半径的圆的上半部分，
所以，${∫}_{-2}^{-1}$f（x）dx表示$\frac{1}{4}$圆的面积，其值为$\frac{π}{4}$，即${∫}_{-2}^{-1}$f（x）dx=$\frac{π}{4}$，
又因为${∫}_{-2}^{-1}$g（x）dx=$\frac{1}{3}$x³${|}_{-2}^{-1}$=$\frac{7}{3}$，
因此，原式=${∫}_{-2}^{-1}$f（x）dx+${∫}_{-2}^{-1}$g（x）dx=$\frac{π}{4}$+$\frac{7}{3}$，
故填：$\frac{π}{4}$+$\frac{7}{3}$．

点评 本题主要考查了运用数形结合的方法解决定积分问题，涉及圆的标准方程，属于中档题．