Question

写出函数f(x)=-log

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2x+2log

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x+8的单调区间．

Answer 1

分析：将原函数f(x)=-log

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2x+2log

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x+8是函数：y=-μ²+2μ+8，μ=log

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x的复合函数，利用对数函数与二次函数的单调性来研究即可．注意对数的真数必须大于0．

解答：解：设μ=log

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x，x＞0．
则原函数f(x)=-log

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2x+2log

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x+8是函数y=-μ²+2μ+8，μ=log

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x的复合函数，
因μ=log

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x在（0，+∞）上是减函数，
∵函数y=-μ²+2μ+8的单调增区间（-∞，1]，单调减区间[1，+∞），
∴根据复合函数的单调性，得
①函数f(x)=-log

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2x+2log

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x+8的单调减区间是函数y=-μ²+2μ+8的单调增区间，
由μ≤1得：log

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x≤1，⇒x≥

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；
②函数f(x)=-log

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2x+2log

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2

x+8的单调增区间是函数y=-μ²+2μ+8的单调减区间，
由μ≥1得：log

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2

x≥1，⇒0≤x≤

1

2

；
故函数f(x)=-log

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2x+2log

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2

x+8的单调区间是：[

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，+∝），（0，

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]．

点评：本题考查复合函数的单调性，指数函数的单调性，二次函数的单调性，是基础题． 复合函数的单调性一般是看函数包含的两个函数的单调性（1）如果两个都是增的，那么函数就是增函数（2）一个是减一个是增，那就是减函数（3）两个都是减，那就是增函数．