题目内容

已知函数f(x)=
x
a
+
a-1
x
（a≠0且a≠1）．
（Ⅰ）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
（Ⅱ）已知当x＞0时，函数在(0，
6
)上单调递减，在(
6
，+∞)上单调递增，求a的值并写出函数F(x)=
3
f(x)的解析式；
（Ⅲ）记（Ⅱ）中的函数F(x)=
3
f(x)的图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导函数大于0根据a的不同值求出x的范围．
（2）令f'（
6
）=0求出a即可得到答案．
（3）假设存在且设直线方程y=kx，根据点的对称求出直线斜率即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）由题设知：f′(x)=
1
a
-
a-1
x2
=
x2-a(a-1)
ax2
．
①当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为(-
a(a-1)
，0)(0，
a(a-1)
)；
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）及（0，+∞）；
③当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-
a(a-1)
)及(
a(a-1)
，+∞)．
（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）中③知
a(a-1)
=
6
且a＞1，解得a=3，
因此，函数解析式为F(x)=
3
x
3
+
2
3
x
（x≠0）．
（Ⅲ）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，
故可设l：y=kx（k≠0），设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P'（p'，q'）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p'，q≠q'，
则P'也在曲线C上，由此得
q+q′
2
=k
p+p′
2
，
q-q′
p-p′
=-
1
k
，且q=
p
3
+
2
3
p
，q′=
p′
3
+
2
3
p′
，
整理得k-
1
k
=
2
3
，解得k=
3
或k=-
3
3
，
所以存在直线y=
3
x及y=-
3
3
x为曲线C的对称轴．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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