Question

（05年山东卷）(12分)

如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.

（I）求异面直线与所成的角；

（II）求平面与平面所成的二面角；

（III）求点到平面的距离.

Answer 1

解析：解法一：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系

由已知可得，

又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得

（I）                   因为

所以=

易知异面直线所成的角为

（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由

即

∴

即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为

（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，

∴距离=所以点到平面的距离为

解法二：(I)连结B₁D₁，过F作B₁D₁的垂线，垂足为K

∵BB₁与两底面ABCD，A₁B₁C₁D₁都垂直

∴

又

因此FK∥AE

∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角

连结BK，由FK⊥面BDD₁B₁得FK⊥BK

从而△BKF为Rt△

 

在Rt△B₁KF和Rt△B₁D₁中，由得

    又BF=

∴∠BFK=

∴异面直线所成的角为

(II)由于DA⊥面AA₁B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知BG⊥DG

∴∠AGD即为平面BDF与平面AA₁B所成二面角的平面角。且∠DAG=90°

在平面AA₁B中，延长BF与AA₁交于点S

∵F为A₁B₁的中点，A₁F

∴A₁、F分别为SA、SB的中点，即SA=2A₁A=2=AB

∴Rt△BAS为等腰三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即G、F重合。

易得AG=AF=SB=

在Rt△BAS中，AD=

∴∠AGD=

即平面BDF与平面AA₁B所成二面角(锐角)的大小为。

(III)由(II)知平面AFD是平面BDF与平面AA₁B所成二面角的平面角所成的平面。

∴面AFD⊥平面BDF

在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离

由AH?DF=AD?得

AH=

所以点到平面的距离为