Question

1．如图，过原点斜率为k的直线与曲线y=lnx交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①k的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．
②$\frac{1}{x_1}$＜k＜$\frac{1}{x_2}$．
③当x∈（x₁，x₂）时，f（x）=kx-lnx先减后增且恒为负．
以上结论中所有正确结论的序号是（　　）

• A． ①
• B． ①②
• C． ①③
• D． ②③

Answer 1

分析 构造函数f（x）=kx-lnx，求导可得f′（x）=k-$\frac{1}{x}$，由已知f（x）有两个不同的零点，得k＞0，进一步可得f（x）在（0，$\frac{1}{k}$）上单调递减，在（$\frac{1}{k}，+∞$）上单调递增，画图可得f（$\frac{1}{k}$）=1-$ln\frac{1}{k}$＜0，则0$＜k＜\frac{1}{e}$，故①正确；由${x}_{1}＜\frac{1}{k}＜{x}_{2}$，得$\frac{1}{{x}_{2}}＜k＜\frac{1}{{x}_{1}}$，故②错误；由图可知，当x∈（x₁，x₂）时，f（x）=kx-lnx先减后增且恒为负，故③正确．

解答 解：令f（x）=kx-lnx，则f′（x）=k-$\frac{1}{x}$，
由已知f（x）有两个不同的零点，则k＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{k}$）上单调递减，在（$\frac{1}{k}，+∞$）上单调递增，
∴f（$\frac{1}{k}$）=1-$ln\frac{1}{k}$＜0，则0$＜k＜\frac{1}{e}$，故①正确；
且有${x}_{1}＜\frac{1}{k}＜{x}_{2}$，∴$\frac{1}{{x}_{2}}＜k＜\frac{1}{{x}_{1}}$，故②错误；
当x∈（x₁，x₂）时，f（x）=kx-lnx先减后增且恒为负，故③正确．
∴所有正确结论的序号是①③．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．