Question

9．设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2，[$\frac{5}{4}$]=1），对于给定的n∈N^*，定义${C}_{n}^{x}$=$\frac{n（n-1）…（n-[x]+1）}{x（x-1）…（x-[x]+1）}$，x∈[1，+∞），当x∈[3，4）时，函数${C}_{8}^{x}$的值域为（14，56]．

Answer 1

分析 x∈[3，4）时，[x]=3，根据定义化简C^x_n，求出C^x₈的表达式，再利用函数的单调性求出C^x₈的值域．

解答 解：当x∈[3，4）时，[x]=3，∴C^x_n=$\frac{n（n-1）（n-2）}{x（x-1）（x-2）}$，
C^x₈=$\frac{8×7×6}{x（x-1）（x-2）}$=$\frac{336}{x（x-1）（x-2）}$；
又∵当x∈[3，4）时，f（x）=x（x-1）（x-2）=x³-3x²+2x，
∴f′（x）=3x²-6x+2＞0，
∴f（x）是增函数；
∴f（x）＜f（4）=24，且f（x）≥f（3）=6；
∴f（x）∈[6，24），
∴$\frac{336}{x（x-1）（x-2）}$∈（14，56]，
即C^x₈∈（14，56]．

点评 本题考查了新定义的函数的应用问题，也考查了求函数在某一区间上的最值问题，解题时应灵活运用基础知识，以便解答问题．