题目内容
（2012•奉贤区二模）数列{an} 的各项均为正数，a1=t，k∈N*，k≥1，p＞0，an+an+1+an+2+…+an+k=6pn
（1）当k=1，p=5时，若数列{an}是成等比数列，求t的值；
（2）当t=1，k=1时，设Tn=a1+
+
+…+
+
，参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法，求证：数列
Tn-
-6n是一个常数；
（3）设数列{an}是一个等比数列，求t（用p，k的代数式表示）．
（1）当k=1，p=5时，若数列{an}是成等比数列，求t的值；
（2）当t=1，k=1时，设Tn=a1+
| a2 |
| p |
| a3 |
| p2 |
| an-1 |
| pn-1 |
| an |
| pn-1 |
| 1+p |
| p |
| an |
| pn |
（3）设数列{an}是一个等比数列，求t（用p，k的代数式表示）．
分析：（1）由an+an+1=6•5n，an+1+an+2=6•5n+1，得到等比数列（an}的公比q=5，由此能求出t的值．
（2）Tn=a1+
+
+…+
+
，
Tn=a1+
+
+…+
+
，由此能够证明
Tn-
-6n=a1-6=-5．
（3）an+an+1+an+2+…+an+k=6pn，an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1，数列{an}是一个等比数列，所以求出公比为p，由此能求出t．
（2）Tn=a1+
| a2 |
| p |
| a3 |
| p2 |
| an-1 |
| pn-2 |
| an |
| pn-1 |
| 1 |
| p |
| a1+a2 |
| p |
| a2+a3 |
| p2 |
| an-1+an |
| pn-1 |
| an |
| pn |
| 1+p |
| p |
| an |
| Pn |
（3）an+an+1+an+2+…+an+k=6pn，an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1，数列{an}是一个等比数列，所以求出公比为p，由此能求出t．
解答：解：（1）an+an+1=6•5n，
an+1+an+2=6•5n+1，…（2分）
设等比数列（an}的公比是q，
则an+an+1=6•5n•5，
∴q=5，…（4分）
n=1时，t+5t=30，∴t=5．…（5分）
（2）证明：Tn=a1+
+
+…+
+
，
Tn=a1+
+
+…+
+
，…（7分）
∴（1+
）Tn=2a1+
+
+…+
+
=a1+6n-6+
，…（9分）
∴
Tn-
-6n=a1-6=-5．…（10分）
（3）an+an+1+an+2+…+an+k=6pn，
an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1，…（11分）
数列{an}是一个等比数列，所以求出公比为p，…（13分）
∴t（pn-1+pn+…+pn+k-1）=6pn，…（15分）
当p=1时，t（k+1）=6，∴t=
，…（16分）
当p≠1，且p＞0时，t
=6pn，
∴t=
．…（17分）
an+1+an+2=6•5n+1，…（2分）
设等比数列（an}的公比是q，
则an+an+1=6•5n•5，
∴q=5，…（4分）
n=1时，t+5t=30，∴t=5．…（5分）
（2）证明：Tn=a1+
| a2 |
| p |
| a3 |
| p2 |
| an-1 |
| pn-2 |
| an |
| pn-1 |
| 1 |
| p |
| a1+a2 |
| p |
| a2+a3 |
| p2 |
| an-1+an |
| pn-1 |
| an |
| pn |
∴（1+
| 1 |
| p |
| a1+2a2 |
| p |
| a2+2a3 |
| p2 |
| an-1+2an |
| pn-1 |
| an |
| pn |
| an |
| pn |
∴
| 1+p |
| p |
| an |
| Pn |
（3）an+an+1+an+2+…+an+k=6pn，
an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1，…（11分）
数列{an}是一个等比数列，所以求出公比为p，…（13分）
∴t（pn-1+pn+…+pn+k-1）=6pn，…（15分）
当p=1时，t（k+1）=6，∴t=
| 6 |
| k+1 |
当p≠1，且p＞0时，t
| pn-1(1-pk+1) |
| 1-p |
∴t=
| 6p(1-p) |
| 1-pk+1 |
点评：本题考查数列的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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