Question

19．偶函数y=f（x）满足下列条件①x≥0时，f（x）=x³；②对任意x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{3}{4}$]
• B． [-$\frac{3}{4}，0$]
• C． [-2，$\frac{3}{4}$]
• D． [-$\frac{4}{3}，1$]

Answer 1

分析 根据f（x）为偶函数便可得到f（|x+t|）≥8f（|x|），从而有|x+t|³≥8|x|³，从而得到|x+t|≥2|x|，两边平方便有（x+t）²≥4x²，经整理便可得到3x²-2tx-t²≤0在[t，t+1]上恒成立，这样只需3（t+1）²-2t（t+1）-t²≤0，解该不等式即可得出实数t的取值范围．

解答 解：根据条件得：f（|x+t|）≥8f（|x|）；
∴（|x+t|）³≥8（|x|）³；
∴（|x+t|）³≥（2|x|）³；
∴|x+t|≥2|x|；
∴（x+t）²≥4x²；
整理得，3x²-2tx-t²≤0在[t，t+1]上恒成立；
设g（x）=3x²-2tx-t²，g（t）=0；
∴g（t+1）=3（t+1）²-2t（t+1）-t²≤0；
解得t$≤-\frac{3}{4}$；
∴实数t的取值范围为（-∞，-$\frac{3}{4}$]．
故选：A．

点评 考查偶函数的定义，y=x³的单调性，不等式的性质，并需熟悉二次函数的图象．