Question

7．在边长为1的正三角形ABC中，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA}=λ\overrightarrow{CE}$，若$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{4}$，则λ的值为3．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$确定点D是BC的中点，根据向量加法、减法、数乘运算，用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{BE}$，由条件和数量积的运算化简$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$=$-\frac{1}{4}$，即可求出λ的值．

解答 解：由题意画出图象如右图：
∵$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$，
∴D为BC的中点，则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∵$\overrightarrow{CA}=λ\overrightarrow{CE}$，
∴$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{CA}$=-$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CE}$-$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{AB}$=（1-$\frac{1}{λ}$）$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$=$-\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）[（1-$\frac{1}{λ}$）$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$]=-$\frac{1}{4}$，
∴（1-$\frac{1}{λ}$）$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$+（1-$\frac{1}{λ}$）${\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=-$\frac{1}{2}$，
∴（-$\frac{1}{λ}$）$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$-${\overrightarrow{A{B}^{\;}}}^{2}$+（1-$\frac{1}{λ}$）${\overrightarrow{AC}}^{2}$=$-\frac{1}{2}$，
∴（-$\frac{1}{λ}$）×1×1×$\frac{1}{2}$-1+（1-$\frac{1}{λ}$）=$-\frac{1}{2}$，
解得λ=3，
故答案为：3．

点评 本题考查向量的数量积的运算，以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义，属于中档题．